Dacă un matematician clasifică ceva drept „evident“ sau „natural“, atributul se arată după ore de lucru, cu zeci de pagini mototolite și (re)scrise. Totuși, deși căutarea rigorii perfecte poate face lucrurile de nerecunoscut în precizia lor, unele obiecte matematice se înțeleg și fără noțiuni abstracte, numai cu o bună cunoaștere a limbii. Este cazul numerelor naturale, căci „naturalețea“ lor se referă la simplitatea maximă, la imediat.

Numerele naturale ne-au intrat în vocabular printre primele cuvinte, pentru că sînt cele folosite pentru enumerare: 1, 2, 3, 4, 5 și mai departe. Mai mult, degetele sau bețișoarele de care ne-am ajutat fac legătura cu originile lor.

Istoria milenară

Conceptul de număr nu are un inventator, pentru că evidențierea, înregistrarea cantitativă datează de la începuturile omenirii și nu necesită vreun efort cognitiv aparte. Dimpotrivă, prin cunoștințele pe care le avem astăzi, comitem eroarea unei lecturi inverse, proiectînd conceptualizarea sofisticată asupra unui intelect primitiv al preistoriei.

Enumerarea și evidențierea se bazează pe ideea matematică de corespondență unu la unu: pentru fiecare animal dintr-o turmă, punem cîte o pietricică într-un vas ori însemnăm cîte o crestătură pe un băț. O astfel de procedură a fost folosită cu mult înaintea scrierii și chiar înaintea cuvintelor pentru numere. Două cantități sînt la fel dacă se potrivesc unu la unu; nu este nevoie să știm cîte pietricele ori crestături sînt în total.

Cea mai veche dovadă arheologică în acest sens este osul Ishango, descoperit în Congo și datat cu aproximativ 20.000 ani în urmă. Osul aparține unui animal neidentificat și este însemnat cu 168 de crestături transversale, grupate după un anumit tipar. Nu s-a putut stabili cu certitudine semnificația crestăturilor, însă numărul lor mare și faptul că sînt aranjate anume arată, cel mai probabil, o evidență sau chiar intenții de calcul.

Dar mai avem o dovadă grăitoare și… la îndemînă. Majoritatea popoarelor au folosit, pe tot parcursul istoriei, sistemul de numerație zecimal – o decizie aparent arbitrară. Este vorba despre regulile de formare a numerelor, prin care, de pildă, numărul 1.234 se înțelege prin mii, sute, zeci și unități – toate puteri ale lui zece. Motivul alegerii este că oamenii au învățat să numere pe degete, prin grupuri de cîte maximum zece obiecte. Astăzi, limba engleză denumește numerele de la zero la nouă digits, cuvînt care înseamnă și degete.

O excepție notabilă a istoriei, de la egipteni și încă prezentă în limba (nu și matematica) franceză, este sistemul vigesimal, care folosește ca bază pe 20 – numărul total de degete. Optzeciul francez se citește „de patru ori douăzeci“ (quatre-vingt), iar nouăzeciul este „de patru ori douăzeci și încă zece“ (quatre-vingt-dix).

Așadar, numerele naturale au apărut inevitabil, pentru scopurile cele mai simple: de enumerare și evidențiere. Astăzi contabilizăm și alte tipuri de cantități: de exemplu, fracțiuni. Dar, într-un alt registru, gramatica păstrează numeralele ordinale, cu care marchează succesiunea, exclusiv prin numere naturale: primul, al doilea, al treilea.

Zero și întregii

Zero este încadrat, de obicei, la numere naturale, dar istoria lui este specială. El reprezintă nimicul, așa că nu merită un simbol aparte, au spus babilonienii și l-au notat (dacă putem spune așa) printr-un spațiu gol. Dar au înțeles imediat că, prin notația pozițională, în care o cifră are înțelesuri diferite în funcție de poziția pe care o ocupă în număr (gîndiți-vă la 12 și 21, de pildă), decizia produce confuzie. Numere precum 10, 100, 1.000 erau aproape imposibil de deosebit.

În loc să propună o notație mai potrivită, popoarele lumii pur și simplu l-au evitat pe zero, chiar cu teamă, văzînd că nu pot împărți nici un număr la el. Soluția a venit foarte tîrziu, prin indianul Brahmagupta (cca. 600 AD), care introduce nu doar simbolul modern – ovalul 0 –, ci și reguli de calcul cu zero și cu numere negative, alte rarități ale vremii.

Numerele negative, chiar dacă nu mai sînt naturale – nici matematic, nici „în natură“ –, au apărut ca extinderi imediate pentru scopuri economice: pînă astăzi, ele înseamnă datorii. Nu este singura lor aplicație: în fizică, minusul rezultă din convenții și arată o direcție opusă celei uzuale. O temperatură de -5 grade Celsius înseamnă cu cinci grade mai puțin decît punctul de îngheț, pe care Anders Celsius a ales să-l fixeze ca 0 (decizie cu care Kelvin și Fahrenheit nu au fost de acord).

Am menționat numerele negative pentru că unii matematicieni nu folosesc numerele naturale ca atare. Perechi precum ±1, ±2, ±3 sînt atît de practice încît se cheamă numere întregi, iar cele naturale devin simple cazuri particulare: întregi pozitive.

Mulțimile de numere nu se termină aici (generalizarea abia începe…), dar istoria și aplicațiile fac din numerele naturale un caz deosebit. Evidența și imediatul acestora sînt trăsături definitorii care se înțeleg odată cu limbajul natural.

Adrian Manea este este matematician, fondator al poligon-edu.ro/simetrie, platformă educațională care prezintă știința pe mai multe laturi, îmbinînd-o cu istoria, filosofia și literatura. Scrie pe Substack-ul „Laturi ale științei“.