Limba & literatura matematică

Trăsătura specifică a matematicii este caracterul abstract. Filosofii au remarcat chiar că această caracteristică este ceea ce o deosebește de științele naturii. Proba matematicii nu poate să fie în experiment sau în observație, ci se testează în interiorul propriului său sistem. Tot filosofii, dar și cercetători ai altor specializări, inclusiv ai matematicii, au arătat că există o legătură uneori surprinzător de strînsă între legile și rezultatele matematicii și legile naturii. Această legătură a fost numită aplicabilitatea matematicii în științele naturii, pe care fizicianul maghiar Eugene Wigner a numit-o „nerezonabilă” și „un mister pe care nu-l înțelegem și nu-l merităm”, dar de care trebuie să ne bucurăm și să-l folosim.

Matematica este abstractă pentru că își propune să extragă generalul din orice fenomen pe care îl modelează. Am folosit deja doi termeni care fac observația aproape circulară. Abstractul și generalizarea sînt aproape sinonime și se referă la extragerea esenței, a strictului necesar, astfel încît procedurile, precum și concluziile lor să aibă o aplicabilitate cît mai largă, ideal universală, opunîndu-se particularului, specificului. Un rezultat matematic este cu atît mai valoros cu cît este mai general și nu puține sînt exemplele cînd matematicienii au lucrat, uneori secole la rînd, pentru a generaliza și mai mult anume rezultate. Abstractizarea se face cu ajutorul modelelor, anume construcții teoretice prin care se neglijează cît mai multe trăsături ce nu sînt relevante studiului în cauză.

În fizica de liceu, apar deja multe astfel de modele: punctul material studiat la mecanică, razele și fasciculele plan-paralele de lumină, sferele rigide ale termodinamicii și altele. Matematica merge și mai departe, pentru că nu-și propune o relevanță practică a priori, iar unele dintre primele modele, ca exemple de abstractizare, au fost numerele, urmate de figurile geometrice din geometria euclidiană a secolului al patrulea înaintea erei noastre.

Astăzi, matematica profesionistă este atît de vastă, încît multe discipline folosesc aplicabilitatea drept criteriu fundamental. Matematicienii pornesc de la situații particulare, concrete, uneori experimentale, pe care le modelează și generalizează, însă fac și drumul înapoi, testînd dacă rezultatele obținute sînt validate sau măcar relevante într-un anume sens cazului particular de la care au pornit. Cu toate acestea, în urmă cu un secol, s-au făcut distincții foarte rigide între „matematica aplicată” și așa-numita „matematică pură”.

Întruparea matematicii

Britanicul Godfrey H. Hardy (1877-1947), profesor la prestigioasele Universități Cambridge și Oxford, a fost un exponent remarcabil al acestui curent. Cercetător în analiză matematică și teoria numerelor, și-a intitulat cursurile predate, precum și cele publicate în cărți „Cursuri de matematică pură”, iar în ultima parte a vieții remarca mai degrabă cu mîndrie decît cu regret că „nimic din ce am făcut de-a lungul carierei nu va avea vreodată relevanță practică”. Contemporanul său Alan Turing (1912-1954) a demontat afirmația și a dat cercetărilor lui Hardy aplicații spectaculoase în criptografie și teoria codurilor. Hardy a scris și o carte-eseu (Apologia matematicianului, 1940) în care plasează matematica în proximitatea artelor, vorbind despre estetica unei teoreme în paralel cu cea a poeziei.

Britanicul nu a fost cunoscut pentru deschiderea sa către dezbatere, ci ca un gînditor cu opinii ferme, izvorîte mai curînd din pasiuni și, probabil, frustrări personale (a fost un ateu fervent și homosexual, aceeași particularitate care i-a adus moartea lui Turing). Însă inițiativa sa de a discuta în același context despre matematică, poezie și alte arte are ecou în mai multe domenii de-a lungul secolelor și pînă în prezent.

Dintre toate aceste legături remarcabile, ne adresăm în continuare elementelor de psihologie și neuroștiințe care au fost folosite de cercetători în propunerea unor noi modele de educație matematică. Nu este vorba atît de inițiative care să schimbe curricule școlare (deși ar putea-o face), cît de o mai bună înțelegere a raportării mintale la abstract, cu aplicații nu doar în sfera matematicii. În acest sens, vom face referire la matematică, însă vom înțelege noțiuni abstracte fundamentale, ușor de extins în alte direcții, precum numericul, enumerarea, caracterul continuu, iterativul (repetitivul) și infinitul.

Una dintre marile idei care poate fi trasată tocmai la începuturile omenirii, dar care a fost pusă în cuvinte și susținută de cercetări neuroimagistice și psihologice abia în anii 1990 este așa-numita întrupare a matematicii. Dovezile istorice arată că toate culturile, din zorii antichității și pînă în prezent, iau contactul cu matematica într-un mod practic, prin propriile trupuri și, apoi, prin obiecte și accesorii la îndemînă. Așa se explică, de exemplu, utilizarea pe scară largă, în mai toate culturile, a bazei de numerație 10 (motivul pentru care citim numere prin mii-sute-zeci-unități): primele numere au fost învățate pe degete.

De fapt, limba engleză numește cifrele de la zero la nouă digits, cuvînt sinonim cu fingers (degete) din același motiv. Peste milenii, părinții, noi și copiii noștri am învățat să numărăm tot pe degete, iar apoi, cu bețișoare, pietricele și alte obiecte pe care le putem mînui, iar abia apoi, scrie sau desena. Matematicianul britanic John D. Barrow arată în cartea sa Pi in the Sky (1992) că există un trib sud-american, numit Botocudo, ai cărui membri nu au în vocabular (și, implicit, în concept) numere mai mari decît patru. Cînd ajung la ceea ce ar trebui să fie cinci, membrii tribului arată către firele de păr de pe cap și folosesc un cuvînt cu sensul de „nenumărat”, „infinit”, am spune.

Mediul cultural are și el un rol esențial în educația matematică. Într-un studiu din 1993, echipa condusă de francezul Stanislas Dehaene a testat raportarea la așa-numita axă mintală a numerelor (mental number line), care ordonează crescător numerele pe o linie orizontală, de la stînga la dreapta. Subiecții lui Dehaene au fost studenți din țările arabe, studenți francezi și studenți arabi naturalizați în Franța. Rezultatele au arătat că scrierea de la dreapta la stînga, folosită de studenții arabi, le-a influențat inclusiv percepția asupra ordonării numerelor. Puși să apese rapid butoane prin care semnalau ordinea între două numere afișate, aceștia au plasat de mai multe ori numerele mai mari la dreapta, invers direcției axei reale. În plus, această influență a culturii natale se poate uita; studenții care locuiseră de aproximativ zece ani în Franța deja reacționau precum europenii din acest punct de vedere.

Lingvistul american George Lakoff, împreună cu colaboratori din diverse domenii, ca filosoful Mark Johnson sau psihologul Rafael Núñez, au sintetizat în cîteva cărți de specialitate ideea fundamentală a întrupării conceptelor abstracte, nu doar în matematică. În 1999, Lakoff și Johnson publică Philosophy in the Flesh (Filosofia încarnată), iar în 2000, Lakoff și Núñez aplică noțiunile în matematică și le prezintă lumii în cartea Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being (De unde vine matematica: cum mintea întrupată face matematica să apară).

În aceste publicații, autorii sintetizează cercetările mai multor psihologi, lingviști și neurologi, una dintre ideile convergente fiind că nu doar creierul, ci și întregul trup și mediu socio-cultural influențează înțelegerea matematicii și a altor concepte abstracte. A doua idee la fel de importantă este aceea a metaforelor conceptuale. Creierul este copleșit de stimuli, proveniți de la simțuri, dar și de numeroase alte semnale interne. De aceea, circuitele cerebrale trebuie să eficientizeze și nu pot păstra corespondența unu la unu între stimul și răspuns. Așa apare categorisirea, dar și înțelegerea și conceptualizarea cu ajutorul comparațiilor sau raportărilor la memorie.

Ideea nu este nouă și apare chiar și la Sigmund Freud, care vorbește despre deplasare (Verschiebung) și condensare (Verdichtung), două mecanisme prin care ideile își pot împrumuta înțelesurile la nivel inconștient. Acesta este unul dintre punctele de plecare pentru teoriile moderne ale metaforelor și metonimiilor în studiul psihologic al limbajului, dar și în psihologia educației matematice – subiectul care ne interesează. Astăzi, ele sînt studiate în cadrul teoriilor de îmbinare a conceptelor (conceptual blending), formulate, printre alții, de lingvistul și neurocercetătorul francez Gilles Fauconnier (1944-2021).

Metaforă și metonimie

Dacă termenii de „metaforă” și „metonimie” vă sună cunoscut, este pentru că ambii desemnează procedee literare, studiate în liceu. Metafora apare pentru prima dată în Poetica lui Aristotel și are ca etimologie cuvîntul compus metaféro (meta + féro), „a purta pe dinafară”. Ideea transmisă este de transfer de sensuri, într-o manieră similară analogiei. De pildă, expresia „rîu de foc”, folosită pentru lavă, se construiește prin transferul proprietăților specifice fluidelor.

În ce privește înțelegerea și învățarea, în limba română și nu numai, există expresii care fac fuziunea între „a învăța” și „a prinde”. Cînd un elev reușește să înțeleagă metoda de rezolvare a unei probleme, spunem că „s-a prins” sau „a prins ideea”. Similar, cuvîntul „deprindere”, care arată un obicei, o învățătură obținută prin repetiție, are etimologia legată de latinescul deprehendere, care înseamnă „a prinde (cu mîna)”.

Conceptele abstracte, de tip matematic, se pot transmite și ele cu ajutorul metaforelor. De pildă, una dintre cele mai des întîlnite și în limbajul comun este asocierea între înălțime și complexitate. Un exercițiu de la olimpiadă are nivel ridicat de dificultate, iar teseractul din romanul Solenoid al lui Mircea Cărtărescu desemnează un obiect aflat într-o dimensiune (geometrică) superioară.

O altă metaforă cu rădăcini în istoria educației matematice este cea a etalonului, a riglei negradate sau, mai simplu, a bățului de măsură. Numerele sînt conceptualizate ca lungimi, iar valoarea, „mărimea” lor devine numărul de ori cît se cuprinde un etalon în lungimea respectivă. Geometria lui Euclid se baza fundamental pe construcții și raționamente folosind rigla negradată și compasul, dar și astăzi, în clasele primare, există așa-numita metodă grafică de rezolvare a problemelor și ecuațiilor, unde numerele sînt reprezentate prin segmente.

Mai mult, operațiile manipulează aceste segmente: adunarea înseamnă punerea lor cap la cap, scăderea înseamnă ștergerea din cel mai mare a unei porțiuni egale (ca lungime) cu cel mai mic, înmulțirea înseamnă repetarea desenului, iar împărțirea înseamnă delimitarea unei lungimi date în părți egale cu etalonul. Remarcăm și că ultimele două operații se pot înțelege în acest context direct: în-mulți-re înseamnă multiplicare, copiere, iar îm-părți-re înseamnă delimitarea părților.

Metonimia este o altă procedură literară, aplicată în științe cognitive, care face legătura între abstract și concret. Etimologia ne trimite tot în Grecia, unde metonoumia înseamnă schimbarea numelui, cu referire la o substituție. În literatură și limbajul comun, metonimia apare cînd înlocuim concepte particulare cu termeni generici. De exemplu, o declarație de presă a președintelui României spunem că este a „Cotroceniului”, iar o seară cu prietenii înseamnă „un pahar”.

Cercetătorii în psihologia învățării, lingvistică și neuroștiințe arată că același mecanism de substituție a particularului printr-un termen mai degrabă abstract se poate folosi pentru înțelegerea ecuațiilor matematice. O ecuație precum 2x – 1 = 3 implică, esențialmente, conceptualizarea unei (cantități) „necunoscute” (x), care nu este altceva decît un locțiitor simbolic pentru o cantitate concretă. De altfel, tot istoria matematicii ne arată că, înainte de apariția notațiilor simbolice, toate problemele circulau într-o formă prozaică. Și astăzi, în școli, există așa-numitele „probleme cu text”, din care elevii (de obicei, începînd cu gimnaziul) trebuie să extragă ecuații pe care să le rezolve.

„Dacă Ionel ar avea dublul vîrstei de acum, ar fi cu 1 an mai mare decît sora sa, Maria, care are 3 ani. Ce vîrstă are Ionel?”

Sună cunoscut? Este exact ecuația sus-menționată, sub formă de „problemă cu text”. Metonimia intervine aici în trecerea conceptuală de la abstractul x la cantitatea concretă pe care o înlocuiește (2 ani, în exemplul de mai sus), dar și invers, în prealabil, la extragerea ecuației din problema cu text.

În încheiere, adaug că metafora conceptuală, metonimia, dar și alte metode conexe de înțelegere a abstractului au fost prezentate de Lakoff, Núñez, Fauconnier și alți cercetători sub formă de teorii, pentru care avem motive să credem că sînt funcționale. Pe parcurs ce neuroștiințele și, mai ales, latura imagistică progresează, se vor putea aduce și mai multe argumente pe care să se fundamenteze noi tehnici de învățare și de raportare la abstract, fie el din matematică sau nu. Punctele de pornire sînt deja trasate și imagistica sprijină această direcție.

În teza sa de doctorat din 1997, Srinivas Narayanan a demonstrat că aceleași circuite neuronale se activează și atunci cînd conceptualizăm o activitate fizică, concretă, și o idee abstractă. Înțelegerea unei expresii sau proceduri care folosește o structură gramaticală continuă, de pildă, declanșează aceleași circuite neuronale ca realizarea unei activități iterative sau continue. Pașii unui algoritm de rezolvare a unei probleme de matematică sînt înțeleși la fel ca pașii pe o alee.

Concluzia, care servește și drept motivație a acestui articol, este că gîndirea abstractă, chiar și numai într-o formă elementară, este mai organică decît am crede. Nu putem deduce că matematica în general ne este la îndemînă, la propriu și la figurat. Însă cunoașterea unor teorii precum cele atinse pe scurt aici cred că ne poate face profesori mai buni, chiar și atunci cînd – ori mai ales cînd – sîntem și studenți curioși.

Adrian Manea este matematician, fondator al Poligon Educational, platformă educațională care prezintă știința pe mai multe laturi, îmbinînd-o cu istoria, filosofia, tehnologia și literatura. Scrie pe Substack-ul „Laturi ale științei”.