Cînd numerele înșală

● Jordan Ellenberg, Cum să nu greșești. Puterea gîndirii matematice, traducere de Smaranda Nistor, Editura Publica, 2018.

Trei prieteni decid să joace cîte un loz, atrași de reclama colorată strident: 33% șanse de cîștig! Primul răzuiește: necîștigător. Este urmat de al doilea, cu același rezultat. Al treilea exclamă imediat, fără a mai răzui: Am cîștigat! Și totuși...

Iată o situație în care gîndirea matematică ar fi adus o abordare mai înțeleaptă a celor trei (pe lîngă îndemnul general de a nu se implica în jocuri de noroc). Aici intervine Jordan Ellenberg, fost student al lui Barry Mazur, unul dintre cei care au dat lovitura decisivă unei probleme nerezolvate după mai bine de trei secole, Marea Teoremă a lui Fermat (demonstrată de Sir Andrew Wiles, în 1995, după ce Pierre de Fermat o enunțase în 1637). Ellenberg are o afinitate pentru popularizarea matematicii, prin articole care au apărut în The New York Times, Wall Street Journal, Washington Post și trei cărți bestseller. Dintre acestea, cea mai cunoscută este Cum să nu greșești. Puterea gîndirii matematice.

Propunerea autorului este să prezinte aplicații și utilizări ale matematicii în viața de zi cu zi, dincolo de clișeul conform căruia folosim algebra cînd facem calcule la cumpărături sau geometria cînd aranjăm mobila. Ținta este chiar mai generală: Ellenberg ne arată utilizări ale raționamentului matematic, de la înțelegerea ipotezelor la alcătuirea corectă a unui argument și, la fel de important, formularea unei concluzii adecvate. Cea mai mare parte a cărții tratează statistica și probabilitățile, ramuri pe care le întîlnim aproape zilnic în presă și, poate, în propriile activități.

Înainte să detalieze moduri în care statistica și probabilitățile ne pot înșela, îndemnîndu-ne la concluzii pripite sau raționamente disproporționate, Ellenberg face o împărțire a matematicii în patru categorii, după profunzime și complexitate. Matematica simplă și superficială este cea din exercițiile elementare care apar în școală, simple calcule prin care verificăm înțelegerea conceptelor de bază. Tot fără profunzime, dar mai complicate sînt așa-zisele exerciții „cu steluță”, care necesită un efort mai mare, atît calitativ, cît și cantitativ. Matematica profundă și complexă este a cercetătorilor, a articolelor de specialitate și a conceptelor sedimentate de-a lungul deceniilor sau secolelor. În fine, conținutul cărții de față este plasat de autor în zona „simplu și profund”. Conceptele expuse sînt elementare, potrivite publicului larg, însă aplicațiile și implicațiile pe care le prezintă sînt surprinzătoare și cer o bună înțelegere, dincolo de simple definiții și teoreme.

Concepția generală asupra probabilităților și statisticii este că sînt discipline care se învîrt în jurul numerelor, eventual completate de reprezentări grafice de tip histogramă sau „gogoașă” (pie chart). Însă Ellenberg ne invită să acordăm atenție sporită raționamentului bazat pe aceste elemente, inclusiv pe cele vizuale. Primele două capitole se ocupă tocmai de particularități ale reprezentărilor grafice, atît proprietăți de ansamblu, cît și unele de detaliu. De exemplu, dependența liniară este cel mai simplu caz cînd între două mărimi există o legătură de proporționalitate directă. În cuvintele autorului, „raționamentul liniar este peste tot. Îl aplicați oricînd spuneți că dacă e bine să ai ceva, atunci e și mai bine să ai mai mult din acel ceva”. Nu toate legăturile între mărimi urmează o astfel de regulă, însă. Și de aici, confuzia care poate apărea, cînd modelul matematic este inadecvat.

A doua proprietate se referă la diferența între caracterul local și cel global al unei variații, o distincție simplă, dar care poate conduce la dificultăți conceptuale. Analiza matematică este construită pe baza acestei deosebiri, iar istoria ei conține dezbateri complicate privitoare la natura infinitului și a continuității – două dintre cele mai importante noțiuni din istoria ideilor, intuite din Grecia antică, dar formalizate abia în secolul al XIX-lea. Caracterul local ne invită să ne concentrăm atenția asupra detaliilor, în timp ce comportamentul global oferă o perspectivă de ansamblu. În funcție de situație, ambele sînt relevante, dar trebuie să știm cînd să le aplicăm. Cursa legendară a lui Ahile împotriva broaștei țestoase oferă un astfel de exemplu, clarificat după secole de progres al matematicii.

De la înțelegerea precisă a numerelor pînă la dependența de context, relativitatea proporțiilor, dar și ghiduri pentru a raționa corect în fața rezultatelor statistice, toate sînt subiecte asupra cărora Ellenberg se oprește cu exemple clare și adesea amuzante. Umorul său este uneori negru: de pildă, a raporta victimele unui conflict sau ale unui dezastru natural dintr-o țară la populația altei țări (capitolul 4: „Cît face asta în americani morți?”) nu este doar irațional, ci și inutil. Clasificarea în „victime” și „supraviețuitori” trebuie făcută ținînd cont nu doar de matematică. Altfel, rigiditatea definiției ne-ar împinge să spunem că și un locuitor al Germaniei este supraviețuitor al atacurilor teroriste de la World Trade Center. Concluzia matematică este că traducerea unor informații statistice între mai multe populații, chiar și prin păstrarea proporțiilor, nu este mereu o idee bună.

Inferențe, interpretări, corelații

Inferența statistică – compusă din raționamentele și concluziile pe baza metodelor și rezultatelor oferite de statistica matematică – este delicată și modelele pot scăpa din atenție factori care influențează un fenomen complex. Corelația nu implică o relație de cauzalitate; este un fapt care ține de o minimă gîndire critică și logică. Mai mult decît atît, unele fenomene pot fi pur și simplu atît de complexe încît ipotezele statistice sau parametrii măsurați ori calculați să nu ia în considerare toate posibilitățile. Inteligența Artificială este un exemplu de modelare statistică a unor procese deosebit de complicate. Nimeni nu știe încă o definiție a inteligenței și, implicit, nu avem o rețetă pentru a o reproduce artificial, dar s-a observat că modelele statistice folosite de cercetători și implementate de programatori dau rezultate satisfăcătoare. Cu toate acestea, sînt cazuri cînd comportamentul nu este cel așteptat. Îndemnul lui Ellenberg este ca în astfel de situații să ne gîndim la factorii sau posibilitățile pe care nu le-am luat în considerare înainte să abandonăm cu totul modelul.

Mesajul este unul mai amplu și vorbește împotriva gîndirii binare, rigide. Foarte rar se întîmplă, în cazuri complexe precum cele modelate de statistica matematică (socio-dinamica unei populații, rezultate politice, Inteligența Artificială, fenomene microscopice etc.), să putem lua în considerare toate variabilele care contează, astfel încît concluzia să fie clară: da sau nu. Dacă nu observăm o corelație între factorii modelați și rezultatele experimentale sau numerice nu înseamnă neapărat că nu există una. Se poate să nu existe o corelație de tipul celei căutate, ci o alta, pentru care trebuie doar să ajustăm modelul, nu să-l respingem.

În fine, în spiritul anului electoral, mai preiau ideea lui Ellenberg despre interpretarea rezultatelor unor alegeri. Atunci cînd un candidat nu obține peste jumătate din voturi, el nu are majoritate – lucru binecunoscut. Să detaliem acest aspect printr-un exemplu numeric. Să presupunem că într-o cursă electorală intră trei candidați, A, B și C, iar voturile merg 42% către A, 38% către B și 20% către C. Candidatul A este declarat învingător: are procentul cel mai mare de voturi. Totuși, văzînd lucrurile în ansamblu, putem spune și că A nu a fost ales de 58% din votanți, deci majoritatea nu l-a vrut. Și totuși, el cîștigă alegerile. Majoritatea cîștigătoare nu este și majoritatea matematică. Rezultă că modelul este cu totul greșit? Nu în mod necesar, însă necesită modificări, inclusiv în percepția publică.

Recomandarea de lectură pentru cartea lui Jordan Ellenberg vine cu cîteva precizări. Autorul își propune să prezinte aplicații ale matematicii în domenii și subiecte cît mai aproape de realitate, dincolo de obișnuitele cazuri din fizică, economie sau informatică, și pune accentul pe utilizări ale statisticii și teoriei probabilităților, atît pentru calcule, cît și pentru interpretarea rezultatelor. Însă dincolo de tonul relaxat, amuzant și accesibil, autorul susține încă din primele pagini convingerea genialului John von Neumann (1903-1957), care scria în eseul Matematicianul, publicat în 1947: „Este mai greu să înțelegi mecanismul unui avion și teoriile forțelor care îl ridică și îl propulsează decît pur și simplu să călătorești cu unul, să stai confortabil în el, să fii ridicat și transportat; mai greu chiar și decît să-l conduci. Doar în cazuri excepționale ar trebui să poată cineva să înțeleagă un proces fără ca, în prealabil, să fi devenit familiar în detaliu cu rularea lui, utilizarea, înainte de a-l fi asimilat într-o manieră instinctivă și empirică”.

„Cu alte cuvinte”, concluzionează Ellenberg, „este destul de greu să înțelegi matematica fără a o practica. Nu există un drum regal către geometrie, precum i-a spus Euclid lui Ptolemeu sau, în funcție de surse, Menehmos lui Alexandru cel Mare.”

De aceea, cititorul trebuie să se aștepte să găsească în carte și explicații tehnice, reprezentări grafice, ba chiar și calcule care se întind pe cel puțin o pagină, fiindcă este singurul mod de a înțelege lucrurile. Istoria matematicii poate fi o poveste, dar rezultatele propriu-zise, nu. Oricine crede că înțelege enunțul și implicațiile unei teoreme sau chiar ale unor simple rezultate numerice fără preliminarii ori, în unele cazuri, fără a face propriile socoteli, chiar și elementare, nu caută, de fapt, matematica.

Să fim bine înțeleși: cartea lui Ellenberg este departe de a fi un curs academic, iar cititorul nu trebuie să o parcurgă cu creionul și foaia alături (deși o poate face, nu este strict necesar). Dar tonul relaxat și amuzant este completat pe alocuri de detalii riguroase. De aceea, nu ezit să o recomand oricui este dispus la puțină gimnastică mintală. Aparenta dificultate a unor subiecte este făcută accesibilă de stilul autorului, din care reies abilitățile sale didactice și înțelegerea profundă, care-i permit să abordeze teme complicate cu exemple și clarificări accesibile. În plus, subtitlul cărții este mai relevant aici: nu ne face infailibili, ba chiar arată și unele limitări ale modelării matematice înseși. Dar mesajul esențial este să folosim uneltele corecte, adaptate situațiilor întîlnite. Ne învață, deci, să facem calcule și raționamente de tip matematic în situații zilnice, așa cum și-a propus, dar și să depistăm utilizări și interpretări inutile, inadecvate sau pur și simplu greșite.

Adrian Manea este matematician, fondator al Poligon Educational, platformă educațională care prezintă știința pe mai multe laturi, îmbinînd-o cu istoria, filosofia, tehnologia și literatura. Scrie pe Substack-ul „Laturi ale științei”.