¬Frumusețea în hainele de lucru

# Jordan Ellenberg, Geometria ascunsă a informației, biologiei, strategiei, democrației și a orice altceva, traducere de Dan Bălănescu, Editura Publica, 2023.

Unde există spațiu, există și geometrie. Unde vedem forme, le înțelegem geometric. Simetrice sau strîmbe, generate de proporții previzibile sau aleatorii precum un fractal, aranjate prin legi precise ori ramificate ca într-un organism, pline de curbe și netezimi sau tăioase cu ascuțime fermă – geometria le vede pe toate. „Geometria nu se află dincolo de spațiu și timp, ea este aici, printre noi, amestecată cu gîndirea din fiecare zi. Geometrii văd Frumusețea în hainele ei de lucru”, scrie matematicianul american Jordan Ellenberg (n. 1971) în prefața cărții sale.

Această ramură a matematicii este asociată cu studiul formei, calitativ și cantitativ. Etimologia ne conduce la „măsurarea Pămîntului”, dar, prin extensie, se referă la măsurarea a tot ce se află pe Pămînt și nu numai. De aceea, cartea lui Ellenberg este surprinzătoare, întrucît propune aplicații atipice, pe care autorul le prezintă cu multe exemple și legături care se dovedesc a fi la îndemînă, deși nu mulți le-am fi intuit.

Teza întregii cărți este că geometria alcătuiește un mod de gîndire, idee pornită din Antichitate, cînd Euclid, în secolul al IV-lea înaintea erei noastre, introduce, prin cele unsprezece volume ale Elementelor sale, nu doar concepte fundamentale pe care matematicienii le folosesc pînă în prezent, ci și un nou mod de argumentare pentru afirmațiile matematice. Unul dintre predecesorii săi, Thales din Milet (cca. 600 î.e.n.), este cunoscut pentru ideea sa de despărțire a matematicii și filosofiei naturii de poezie.

Noua generație de cercetători, în viziunea lui Thales, formulează enunțuri clare, pe care le argumentează, fără a mai folosi un limbaj poetic sau alte subtilități ale cuvîntului, cum făcuse, de pildă, Hesiod în Theogonia, vorbind despre nașterea Universului. Euclid, așadar, implementează această metodă în Elemente, unde găsim o scriere matematică nouă. Afirmațiile sînt grupate și se disting propoziții și teoreme, demonstrate cu ajutorul metodei deductive. El formulează axiome – afirmații primitive, atomice, pentru care nu există justificare ori caracterizare mai simplă –, iar pe baza lor, alcătuiește și demonstrează teoreme. E drept, totuși, că metodele euclidiene sînt mai degrabă bazate pe construcții decît pe logică. La origini, cuvîntul „teoremă”, de altfel, se leagă de grecescul theorema, care înseamnă „spectacol”, în sensul a ceva ce poate fi văzut, deci construcția are un rol important.

Pe parcurs, Ellenberg se îndepărtează, în sensul generalizării, de această idee conform căreia geometria se leagă strict de măsurători sau de vizual. Apare mai departe studiul deformărilor, prin topologie, numită și „geometria de cauciuc”. Ca și în cartea sa precedentă Cum să nu greșești. Puterea gîndirii matematice (Publica, 2018), întîlnim detalii specifice autorului. În primul rînd, ușurința cu care face accesibile subiecte care nu sînt la îndemîna oricui, lejeritate rezultată dintr-o înțelegere în profunzime a noțiunilor de matematică, împreună cu aplicațiile acestora, dar și din interesul pedagogic pentru claritate.

Al doilea element specific vine într-o combinație perfectă cu talentul profesoral: umorul, rezultat mai ales din surse simple și, uneori, contraintuitive. Mai precis, chiar capitolul despre topologie folosește drept motivație o întrebare în aparență amuzantă, însă care ascunde un concept fundamental și complex din topologie. Capitolul se intitulează „Cîte găuri are un pai?”, iar autorul clarifică în detaliu noțiunea matematică de „gaură”, explicații în urma cărora întrebarea nu mai pare o simplă glumă.

Statistica și teoria probabilităților

Alte două elemente predilecte în cărțile de popularizare a matematicii scrise de Jordan Ellenberg sînt exemplele și aplicațiile din domenii precum teoria probabilităților și statistică, împreună cu prezentări riguroase, uneori însoțite de calcule detaliate, presărate printre paginile cu explicații. Ambele caracteristici sînt binevenite: statistica și teoria probabilităților sînt domenii pe care le întîlnim foarte des, în presă, la știri sau în propriile raționamente. Apoi, prezentarea cîtorva calcule precise, împreună cu noțiunile teoretice corespunzătoare, reflectă un crez pe care toți matematicienii și profesorii ar trebui să-l aibă: deși matematica nu înseamnă în nici un caz doar calcule (numerice sau simbolice), o înțelegere precisă se obține doar dacă cititorul este pregătit să aibă la îndemînă creionul și foaia de hîrtie.

Aplicațiile geometriei merg cu mult mai departe decît lucrul cu figuri plane, după modelul euclidian, sau cu deformări topologice. Ellenberg prezintă combinații care îmbină raționamentul vizual, de inspirație geometrică, cu detalii computaționale, într-o discuție despre arbori de decizie. Cei obișnuiți să despice firul în patru cînd au de cîntărit mai multe opțiuni vor recunoaște imediat tiparul: „dacă..., atunci...”, într-o repetiție pînă la unul sau mai multe deznodăminte. Cînd sînt analizate toate posibilitățile și se înregistrează, pe ramuri, opțiunile și consecințele lor se ajunge la un arbore de decizie. Structura este cunoscută, de exemplu, și din prezentarea vizuală a unei competiții sportive în care fiecare meci este eliminatoriu. La fiecare pas, informațiile de intrare sînt cei doi concurenți dintr-un meci, iar informația de ieșire este cîștigătorul. Arborele care rezultă din întreaga competiție converge către o singură ramură: echipa sau sportivul care ia trofeul cel mare.

Dacă se iau în considerare și probabilitățile de cîștig în fiecare meci și etapă ulterioară, structura se complică și se apropie de un obiect matematic deosebit, numit lanț Markov. Denumite în onoarea matematicianului rus Andrei Markov (1856-1922), care a fost și un excelent jucător de șah, de nivelul marilor maeștri ai zilelor noastre, lanțurile Markov au aplicații deosebite în Inteligența Artificială, guvernată matematic de comportamentul probabilist. Cînd este necesară analiza mai multor inferențe succesive, iar fiecare dintre ele are o anume probabilitate de realizare, care depinde doar de starea anterioară, lanțurile Markov oferă un model potrivit. Tocmai acest caracter computațional, reflectat în astfel de modele matematice, face posibilă implementarea unor roboți software pentru jocuri ca șah, dame sau Go.

În capitolul al cincilea, „Stilul lui era invincibilitatea”, Ellenberg prezintă una dintre primele astfel de confruntări om-mașină, între matematicianul Marion Tinsley și programul Chinook, în jocul de dame. Tinsley pierduse doar trei partide între 1951 și 1990, în toate competițiile la care participase, iar între 1990 și 1994, a acceptat să joace mai multe meciuri împotriva programului dezvoltat de Universitatea Alberta. Tinsley a ieșit victorios în majoritatea meciurilor, însă la ultima apariție, în august 1994, s-a retras după șase rezultate de egalitate, acuzînd dureri. La numai o săptămînă, a fost diagnosticat cu cancer pancreatic, murind șapte luni mai tîrziu.

Ca o generalizare a măsurătorilor de pe Pămînt prin geometrie, capitolul al optulea, „Ești propriul tău verișor primar negativ și alte hărți”, arată cum sarcina aparent simplă de măsurare a distanțelor deschide un subiect complex, cu o istorie bogată, legat doar parțial de hărți. Pe scurt, distanța dintre două puncte nu are o definiție universală și se poate adapta spațiului în care alegem punctele. Matematicienii au definit doar „criterii de eligibilitate”, prin care o metodă anume de calcul poate măsura distanțe („metrici” se numesc în termeni de specialitate).

Asta înseamnă că între aceleași două puncte din același spațiu se pot calcula mai multe distanțe, toate fiind „corecte” (ghilimelele marchează tocmai faptul că nu se poate vorbi fără echivoc despre distanță, decît cel mult convențional). Iată un exemplu simplu: imaginați-vă o foaie cu pătrățele, ca de matematică, și alegeți două puncte oarecare, aflate în colțuri ale pătrățelelor. Metoda clasică de calcul al distanței între cele două puncte înseamnă să le unim cu o linie dreaptă și să măsurăm lungimea acelei linii. Aceasta este doar una dintre opțiuni, numită metoda euclidiană. O alternativă este să impunem regula de a ne deplasa numai pe liniuțele foii, astfel că cele două puncte vor fi unite printr-o linie frîntă, ca în trepte, căreia i se măsoară lungimea totală. Exemplul poartă numele de metoda Manhattan sau distanța-taxi, întrucît harta cartierului newyorkez are majoritatea străzilor reciproc perpendiculare, iar un taxi poate ajunge între două puncte doar după multe cotituri de nouăzeci de grade.

Prin studiul formei, geometria ajută și la identificarea unor tipare sau reguli, cu precădere vizuale. De aceea, ea este o unealtă puternică de studiu al rețelelor, inclusiv al celor sociale. Cercetătorul maghiar de origine română Albert-László Barabási (n. 1967, Cîrța, Harghita) este considerat unul dintre fondatorii teoriilor moderne ale rețelelor, cu numeroase aplicații. El a demonstrat că, dacă formăm un grup de oameni aleși aleatoriu și-i analizăm din punctul de vedere al relațiilor sociale, descoperim tipare surprinzătoare. Abstract vorbind, oamenii se reprezintă ca puncte oarecare în plan, iar dacă doi oameni se cunosc între ei, punctele care îi reprezintă se unesc.

Rezultă un obiect matematic numit graf, iar descoperirea remarcabilă a lui Barabási a fost că oricum am alege doi oameni din grup se poate găsi o cale de a-i uni, pe baza rețelelor sociale prin cel mult șase puncte intermediare. Altfel spus, oricare dintre cei doi poate spune „am un prieten, care are un prieten, care are un prieten...” și tot așa, cu maximum șase interpuși, pînă ajunge la cealaltă persoană. Fenomenul este ceea ce Barabási a numit teoria celor șase grade de separare sau, mai simplu, a lumilor mici, fiindcă – nu-i așa? – exclamăm cu toții „Ce mică-i lumea!” cînd găsim cunoștințe comune în ocazii neașteptate.

Înainte de studiile lui Barabási, în lumea matematicii apăruse o convenție similară. Matematicianul maghiar Paul Erdös (1913-1996) a fost unul dintre cei mai prolifici cercetători, din punctul de vedere al colaborărilor. Se spune despre el că rar îl găseau cîteva zile la rînd în același loc și călătorea în toată lumea doar cu o servietă, în căutare de minți deschise pentru a discuta matematică. Așa a publicat lucrări alături de mai bine de 500 de coautori. Colegii de breaslă au creat, astfel, numărul Erdös, care măsoară distanța, din punctul de vedere al colaborărilor, față de maestrul însuși. Cineva cu număr Erdös egal cu unu a colaborat direct cu maghiarul. Numărul Erdös doi înseamnă un colaborator al unui colaborator al lui Erdös și așa mai departe. Dincolo de amuzament, numărul Erdös cît mai mic este un adevărat motiv de mîndrie între matematicieni, dată fiind influența deosebită pe care au avut-o cercetările maghiarului.

Cartea lui Jordan Ellenberg se încheie într-o notă filosofică, pe care cred că e potrivit să o parafrazez aici, în încheiere. Geometria, această ramură primitivă a matematicii, care ne-a însoțit încă din zorii gîndirii abstracte, ne-a dat măsura lucrurilor. Iar multitudinea de aplicații în viețile noastre, în care s-a dovedit spectaculos de utilă, fie prin modul special de a privi lucrurile, fie prin organizarea raționamentului, face ca geometria să ne fi dat, pînă la urmă, măsura noastră înșine. Nu cred că poate exista motivație mai convingătoare decît aceasta pentru lectura unei cărți pe cît de diverse, pe atît de surprinzătoare în unitatea ei.

Adrian Manea este matematician, fondator al poligon-edu.ro/simetrie, platformă educațională care prezintă știința pe mai multe laturi, îmbinînd-o cu istoria, filosofia și literatura. Scrie pe Substack-ul „Laturi ale științei“.